Множество, в котором элементы с одинаковыми свойствами

(Одно) число  характеризуется не только величиной, но и свойствами числа. 

Аксиомы Пеано ничего не говорят о свойствах числа. Мне нужно  определение множества, в котором все элементы с одинаковыми  свойствами, но нет аксиомы по свойствам числа.

Зачем мне это нужно? При определённых действиях, (часть) элементов  множества меняет свойства, но выявить это можно только путём рассуждений, нет математического подхода для этого.