Страсть к обобщениям

В начале, небольшое вступление. Мы размышляем (мыслим) образами.  Образ это идеальное отражение мира в нашем сознании.  Образ не обязательно зрительный.  Изменённое сознание не рассматриваем. Под словом мир я подразумеваю мир объектов, то, что доступно нашим чувствам. Мышление. Движение, череда образов связанных между собой логикой, взаимодействием, интуицией и тому подобное. Мысль  это  образ, всплывающий из нашего подсознания и нельзя придумать образ, которого нет в нашем мире.  Можно только создать мысленно новую, неизвестную комбинацию из известных образов, да и то комбинация должна быть естественной, иначе получится химера. Из этого утверждения, кстати, никем не оспоренного, можно вывести ещё одно, не может всплыть из глубин подсознания образ,  который когда-то не был отражением  нашего мира. Значит, развитие человека ограничено, и больших результатов ожидать не приходится. Мы в этом мире обречены, создавать неизвестные комбинации из известных образов. И этот процесс назвать творчеством можно, но с поправками.

Разорвать этот круг попытались математики.

Созданы направления логика и теория множеств, в которых рассматриваются только чистые взаимодействия. Полностью абстрагировавшись от мира объектов. Объектов нет. Вместо них неопределённость. Например, в теории множеств. Изначальное определение множества многовариантно, но общее у них одно, элементы множества не определены не по количеству, не по свойствам, не по взаимодействию. Имеем полную неопределённость по элементам множества. Они есть и всё.. В логике объекты исключены, есть только взаимодействия.

Наш мир, мир объектов потерпел крах, его исключили как слабое, мешающее, ненужное звено. Но не тут-то было. Мы почему-то не желаем отпускать логику и теорию множеств, в свободное плавание и раз за разом, упрямо, стараемся связать воедино, в общее, логику и теорию множеств, и наш мир объектов. Здесь я не буду приводить примеров, мои оппоненты приведут их, опровергая вышесказанное утверждение по определению  множества. Очень показательна  на этот счёт тема «Как связаны математика и логика?» автор (Niclax) на форуме dxdy. Приведу выборку нескольких цитат:

(Niclax) Тревожит такой вопрос: Как связаны математика и логика? С одной стороны, логику можно рассматривать как метаматематику: когда формулируется теория множеств - основа всей математики - , используются такие понятия как различные типы высказываний (аксиомы, теоремы), логические операции и определение. С другой же стороны есть такая штука, как математическая логика, где некоторые понятия "обычной" логики определены формальным путем, базируясь на этой самой теории множеств (высказывание - элемент некой алгебры, логические операции - функции над элементами этой алгебры). И получается какая-то путаница.

Модератор - Чтобы создать теорию множеств, от всей математической логики нужен всего один маленький раздел - языки предикатов первого порядка. Этот раздел логики излагается "из ничего", то есть с точки зрения еще не существующей математики - "неформально"; в то же время оказывается, что он, тем не менее, описан "очень" формально - настолько формально, что его можно даже объяснить компьютерам! Ну то есть делать компьютерную проверку доказательств. Такой уровень строгости изложения всех устраивает. Далее уже на этом фундаменте строим теорию множеств и всю математику, а также маленький подраздельчик математики - всю остальную логику. Конечно, можно считать, что она тоже фундаментальна, но если математика достаточно хороша, чтобы ее изложить, то почему бы и нет?

(Niclax) Если я Вас правильно понял, то структура такова: Логика  Теория множеств  Математика  Математическая логика, то есть теория множеств и, как следствие, вся математика - это всего лишь разделы логики, которые оной, по сути, не нужны, а вся строгость математики есть не что иное как логический формализм?

  vek88 - Вряд ли можно кратко и однозначно ответить на вопрос в заголовке темы. Ведь сама математика строилась в определенной степени хаотично. Построено сложное и огромное здание. И сказать вполне формально и однозначно о связи математики и логики вряд ли возможно.

Niclax -Формальный подход

Математика представляет собой типичную теорию со своими знаками, схемами, аксиомами и т.п. Понятия множества как такого нет. Преимуществом такого подхода является высокий уровень строгости

Наивный подход

Основой являются мысленные образы. В частности, множество представляется как совокупность каких-либо предметов. Недостаточный уровень строгости данного подхода приводит к различным парадоксам.

Хотелось бы услышать чужое мнение по этому поводу.

Epros - Это мне непонятно. "Мысленные образы" - это нечто, не имеющее чёткого определения. Понятно, что записывая некие формальные высказывания, мы держим в голове некие "мысленные образы". Например, записываем в теории константы К и С, представляя при этом кошку и собаку. Однако последние, с моей точки зрения, уже за рамками собственно математики.

vek88 - Дык я перед этим и написал про множественность и неоднозначность ответов.

epros в сообщении #355029 писал(а):

Это мне непонятно. "Мысленные образы" - это нечто, не имеющее чёткого определения.

Это Вы по поводу определения Георга Кантора: "Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления" (см. Множество в Википедии)?

vek88 - Масло масляное...

Это Вы по поводу определения Бертрана Рассела: «Множество суть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое» (см. Множество в Википедии)? Но ведь именно так, как правило, определяют множество в наивной теории множеств.

vek88 в сообщении #355034 писал(а):

Дык я перед этим и написал про множественность и неоднозначность ответов.

Epros - В этом вся и проблема. Если я написал статью про паровоз, а Вы прочитали её как статью про велосипед, то сие не есть хорошо. Весь смысл математической формализации заключается в том, чтобы исключить возможные неоднозначности в понимании излагаемых вопросов (иногда довольно сложных). Увы, похоже, что это неосуществимо...  В понимании даже банальнейших и достаточно строго формализованных понятий могут обнаружиться расхождения. Например, я говорю о натуральных числах и мне кажется, что предмет обсуждения однозначно определён. А потом вдруг через неделю узнаю, что собеседник, оказывается, имел в виду т.н. "нестандартные" числа...

Кантор, как известно, формализацией понятия множества не занимался. И даже труд свой на эту тему назвал не "теорией", а "учением" о множествах.

Насколько я знаю, в т.н. "наивной теории множеств" множество определяется как объект, содержащий в себе все объекты, обладающие определённым свойством (и только их).

Что касается "совокупности", то это слово обычно рассматривается как синоним понятия "множества". Впрочем, можно понимать и иначе. Например, можно называть "совокупностями" только такие множества, которые определены посредством перечисления всех входящих в них объектов. При таком определении они уже не будут синонимами.

(Niclax) - Не совсем. Множество - абстрактный объект, а множество предметов - физический.

Epros - Множество предметов - тоже абстрактный объект, до тех пор, пока не сказано, о каких конкретно предметах идёт речь.  И не имеет значения являются ли эти предметы "физическими", "биологическими" или какими-то иными.

Rasool - Вопрос действительно философский. Что возникло раньше: курица или яйцо?

На этом  закончено цитирование

Вопрос: Почему мы упорно стараемся, найти общее обобщение? Почему стараемся одновременно объяснить сущность и яйца и курицы.  Может оставить каждому своё. Оставить логике, теории множеств и иже с ним - чистые правила, а остальным математикам многообразие мира объектов. И в частной проблеме теории чисел, действительные числа если не являются математическим объектом("математический объект" появляется тогда, когда есть определяющая его теория (в широком смысле - совокупность представлений о свойствах соответствующих объектов) а просто остаются действительными числами, то проблема от этого только выиграет.

В заключение хочу привести цитату из дневника А.В. Дружинина, литератора девятнадцатого века. (В тему цитата)

5 августа четверг 1854 год Сочинение Кюстина о России, с рецензией на него Греча (Имеются в виду книга А. де Кюстина «La Russie tn 1839» путанная по воззрениям, но раскрывающая некоторые типичные стороны русской жизни, особенно в высшем свете, и полемический ответ Н. И. Греча, инспирированный III отделением. «О произведении «Россия в 1839 г» маркиза де Кюстина» ответ был переведён на французский и немецкий языки и издан в Париже в 1844 г.) Эта рецензия не так подла, как заставляет предположить имя Греча, моего бывшего наставника в русской словесности. Греч исполнил своё дело не вполне, но деликатно, и с меткостью указал на главниый промах Кюстина, т. е. излишнюю страсть к Обобщениям(generalisation)  погубившую многих писателей более даровитых и создавших целую когорту авторов-чудовищ, в роде Кине, Мишле и Леру. … А я думаю, что для умного и любящего своё отечество русского это сочинение может быть полезным, ибо автор иногда зорок посреди слепоты и рассказом нелепости родит мысль дельную. Конец цитаты.

Посмотрите, даже в литературе в позапрошлом веке уже было скептическое отношение к страсти к обобщениям. Маленькая проблема из теории чисел, для меня более значима, чем страсть, большое намерение, обобщить, а тем паче построить теорию всё объясняющую. Но и я был не чужд этой страсти.

Сергей Ситников