Лемма о разбиениях

Лемма о разбиениях

Лемма. Пусть Е - множество на плоскости, обладающее свойством, что любая вертикальная прямая и любая горизонтальная прямая пересекают множество не более, чем в 100 точках.

Тогда множество Е можно разбить на 200 подмножества так, что каждое такое подмножество пересекается с любой вертикальной или горизонтальной прямой не более, чем в одной точке.

 Условие о пересечении вертикальных, горизонтальных прямых с множеством не более чем в 100 точках - преждевременно. Начнём с того, что:

График любого взаимно-однозначного отображения подмножества М оси абсцисс (горизонтальная ось) на подмножество N оси ординат является подходящим множеством Е.

Подходящим, но не достаточным.   Пусть Е множество на плоскости, обладающее свойством,  что любая вертикальная прямая и любая горизонтальная прямая пересекают множество  в 1 точке.   

1 Разбив множество Е на  подмножества, (количество подмножеств меньше количества элементов) получим счётные подмножества,  доказали счётность множеств без пересчёта их элементов.

2  Имеем счётные подмножества, обладающее свойством,  что любая вертикальная прямая и любая горизонтальная прямая пересекают множество в 1 точке.

3 Увеличим количество элементов в каждом подмножестве в 100 раз, получим, счётные подмножества, обладающее свойством,  что любая вертикальная прямая и любая горизонтальная прямая пересекают множество не более, чем в 100 точках.

4 Разбив каждое подмножество ещё на 200 подмножеств, получим, в каждом новом подмножестве количество добавленных элементов уменьшится в 200 раз. Но увеличили в 100 раз. Значит. Получим счётные подмножества, обладающее свойством,  что любая вертикальная прямая и любая горизонтальная прямая пересекают множество  в 1 точке.

 Ещё раз, во  всех подмножества увеличив количество элементов в 100 раз и тут же уменьшив в 200 раз, получили, очередное  разбиение каждого из подмножеств на два подмножества, что влечёт за собой сохранение предыдущего свойства, что любая вертикальная прямая и любая горизонтальная прямая пересекают множество в 1 точке.